미분가능한 구간별 함수

최고차항의 계수가 $1$이고, $f' \left( 0 \right) = f' \left( 2 \right) = 0$인 삼차함수 $f ( x )$에 대하여 $f' \left( x \right) = 3 x \left( x - 2 \right)$ 이므로 이차함수 $y = f' \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 따라서 삼차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( 1 , f \left( 1 \right) \right)$에 대하여 대칭이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} f' \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{} ^{} {} \left( 3 x ^{2} - 6 x \right) dx$ $= x ^{3} - 3 x ^{2} + f \left( 1 \right) + 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $p > 0$이고, 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & \left( f \left( x \right) \geq x \right) \\ f \left( x - p \right) + 3 p & \left( f \left( x \right) < x \right) \end{cases}}$이다. 삼차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 곡선 $y = f \left( x \right)$, 직선 $y = x$의 두 교점의 $x$좌표를 각각 $a$, $b$라 하자. 이때, $f' \left( a \right) = 1$, $f' \left( b \right) \ne 1$이다.

함수 $g \left( x \right)$가 모든 실수에서 미분가능하면, 함수 $g \left( x \right)$는 $x = a$, $x = b$에서 미분가능하다. (ⅰ) $x = a$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \left\{ f \left( x - p \right) + 3 p \right\}$$= f \left( a - p \right) + 3 p$ $g \left( a \right) = f \left( a \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = a$에서 연속이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} g \left( x \right) = g \left( a \right)$ $\therefore$ $g \left( a \right) = f \left( a - p \right) + 3 p = f \left( a \right)$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( a \right)}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \frac{f \left( x - p \right) + 3 p - \left\{ f \left( a - p \right) + 3 p \right\}}{x - a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \frac{f \left( x - p \right) - f \left( a - p \right)}{x - a}$ $= f' \left( a - p \right)$ 이므로 $g' \left( a \right)$의 값은 존재한다. (ⅱ) $x = b$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} \left\{ f \left( x - p \right) + 3 p \right\}$$= f \left( b - p \right) + 3 p$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} f \left( x \right)$$= f \left( b \right)$ $g \left( b \right) = f \left( b \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = b$에서 연속이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} g \left( x \right) = g \left( b \right)$ $\therefore$ $g \left( b \right) = f \left( b - p \right) + 3 p = f \left( b \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = b$에서 미분가능하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( b \right)}{x - b} = \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( b \right)}{x - b}$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( b \right)}{x - b}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} \frac{f \left( x - p \right) + 3 p - \left\{ f \left( b - p \right) + 3 p \right\}}{x - b}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} \frac{f \left( x - p \right) - f \left( b - p \right)}{x - b}$ $= f' \left( b - p \right)$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( b \right)}{x - b}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( b \right)}{x - b}$$= f' \left( b \right)$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = b$에서 미분가능하면 $f' \left( b - p \right) = f' \left( b \right)$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( a \right) = a$, $f' \left( a \right) = 1$, $f \left( b \right) = b$, $f' \left( b \right) \ne 1$인 $a$, $b$에 대하여 함수 $g \left( x \right)$가 $x = a$, $x = b$에서 미분가능하면 $f \left( a - p \right) + 3 p = f \left( a \right)$, $f \left( b - p \right) + 3 p = f \left( b \right)$, $f' \left( b - p \right) = f' \left( b \right)$ 즉, 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = f \left( x - p \right) + 3 p$는 두 점 $\left( a , a \right)$, $\left( b , b \right)$에서 만나고, $x = b$에서의 두 곡선의 접선의 기울기는 서로 같다. ㉠에 의하여 $f' \left( 2 - b \right) = f' \left( b \right)$ $f' \left( b - p \right) = f' \left( b \right)$이므로 $b - p = 2 - b$

$\cdots$$\cdots$ ㉢ $f \left( b - p \right) + 3 p = f \left( b \right)$, $f' \left( b - p \right) = f' \left( b \right)$이므로 점 $\left( 2 - b , f \left( 2 - b \right) \right)$를 $x$축의 방향으로 $p$만큼 $y$축의 방향으로 $3 p$만큼 평행이동하면 점 $\left( b , b \right)$이다. 두 점 $\left( b , b \right)$, $\left( 2 - b , f \left( 2 - b \right) \right)$는 점 $\left( 1 , f \left( 1 \right) \right)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle 2 - b = 1 - \frac{p}{2}$, $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{2}$ 이고, $\displaystyle f \left( 1 \right) = b - \frac{3 p}{2} = 1 - p$ ㉡에 의하여 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 - p$ $x \leq 2 - b$에서 $f' \left( x \right) > 1$이므로 그림 ㉢에 의하여 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = f \left( x - p \right) + 3 p$는 점 $\left( a , a \right)$에서 만나지 않는다. 즉, 주어진 조건을 만족시키는 $f \left( a \right) = a$, $f' \left( a \right) = 1$인 실수 $a$는 존재하지 않는다. 따라서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = x$는 오직 한 점 $\left( b , b \right)$, 즉 $\displaystyle \left( 1 + \frac{p}{2} , 1 + \frac{p}{2} \right)$에서 만난다.

두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = f \left( x - p \right) + 3 p$에 의하여 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle f \left( 1 + \frac{p}{2} \right) = 1 + \frac{p}{2}$, 즉 $f \left( b \right) = b$이므로 $b ^{3} - 3 b ^{2} + 3 - p = b$ $p = 2 b - 2$이므로 $b ^{3} - 3 b ^{2} + 3 - \left( 2 b - 2 \right) = b$ $b ^{3} - 3 b ^{2} - 3 b + 5 = 0$, $\left( b - 1 \right) \left( b ^{2} - 2 b - 5 \right) = 0$ $p = 2 b - 2$, $p > 0$이므로 $b > 1$ $\displaystyle b = 1 + \sqrt{6}$, $\displaystyle p = 2 \sqrt{6}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 - 2 \sqrt{6}$ 따라서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = 3 - 2 \sqrt{6}$이다.