미분가능한 구간별 함수

함수 $g \left( x \right)$가 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \left( - xf \left( x \right) - ax ^{2} \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} \left( \frac{1}{4} f \left( x \right) - bx ^{2} \right) = \frac{1}{4} f \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g \left( x \right)$에서 $f \left( 0 \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{g \left( h \right)}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{- hf \left( h \right) - ah ^{2}}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \left( - f \left( h \right) - ah \right)$ $= - f \left( 0 \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{g \left( h \right)}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{\frac{1}{4} f \left( h \right) - bh ^{2}}{h}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} f' \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} \frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}$에서 $f' \left( 0 \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $f \left( x \right) = x ^{3} + px ^{2}$을 만족시키는 실수 $p$가 존재한다. $g _{1} \left( x \right) = - xf \left( x \right) - ax ^{2} = - x ^{4} - px ^{3} - ax ^{2}$, $\displaystyle g _{2} \left( x \right) = \frac{1}{4} f \left( x \right) - bx ^{2} = \frac{1}{4} x ^{3} + \left( \frac{p}{4} - b \right) x ^{2}$ 이라 하자. $x \leq 0$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} g \left( x \right) = - \infty$이고 $g \left( 0 \right) = 0$이므로 $g \left( \alpha \right) = - 27$을 만족시키는 실수 $\alpha$가 구간 $\left( - \infty , 0 \right)$에 적어도 하나 존재한다. $g _{1}' \left( x \right) = - x \left( 4 x ^{2} + 3 px + 2 a \right)$이고 조건 (나)에서 $g' \left( \alpha \right) = 0$이므로 실수 $\beta$가 존재하여 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $4 x ^{2} + 3 px + 2 a = 0$의 근이다. (ⅰ) $\beta < \alpha < 0$인 경우 함수 $g \left( x \right)$는 구간 $\left( - \infty , \beta \right)$에서 증가하고 구간 $\left( \beta , \alpha \right)$에서 감소하므로 $g \left( k \right) = - 27$이지만 $g' \left( k \right) \neq 0$인 실수 $k$가 구간 $\left( - \infty , \beta \right)$에 존재하여 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\alpha < \beta < 0$인 경우 함수 $g \left( x \right)$는 구간 $\left( \alpha , \beta \right)$에서 감소하고 구간 $\left( \beta , 0 \right)$에서 증가하며 $g \left( 0 \right) = 0$이므로 $g \left( k \right) = - 27$이지만 $g' \left( k \right) \neq 0$인 실수 $k$가 구간 $\left( \beta , 0 \right)$에 존재하여 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $\alpha < 0 \leq \beta$인 경우 함수 $g \left( x \right)$는 구간 $\left( \alpha , 0 \right)$에서 감소하므로 $g \left( \alpha \right) = - 27$이고 $g \left( 0 \right) = 0$인 것에 모순이다. (ⅰ)$\sim$(ⅲ)에서 조건을 만족시키기 위해서는 $\beta = \alpha$이어야 한다. 이차방정식 $4 x ^{2} + 3 px + 2 a = 0$의 근과 계수와의 관계에 의하여 $\displaystyle 2 \alpha = - \frac{3}{4} p$, $\displaystyle \alpha ^{2} = \frac{a}{2}$ $\displaystyle p = - \frac{8}{3} \alpha$, $a = 2 \alpha ^{2}$ $\displaystyle g \left( \alpha \right) = - \alpha ^{4} + \frac{8}{3} \alpha ^{4} - 2 \alpha ^{4} = - \frac{1}{3} \alpha ^{4} = - 27$ $\alpha ^{4} = 81$, $\alpha = 3$ 또는 $\alpha = - 3$ $\alpha < 0$이므로 $\alpha = - 3$이고 $p = 8$, $a = 18$ $x \leq 0$에서 $g \left( x \right) = - 27$을 만족시키는 $x$의 값은 $\alpha$뿐이므로 조건 (가)에 의하여 $\gamma > 0$인 실수 $\gamma$가 존재하여 $g \left( \gamma \right) = - 27$, $g' \left( \gamma \right) = 0$을 만족시킨다. $\displaystyle g _{2}' \left( x \right) = \frac{3}{4} x ^{2} + \left( 4 - 2 b \right) x = 0$에서 $\displaystyle \gamma = \frac{8}{3} \left( b - 2 \right)$ $\displaystyle g \left( \gamma \right) = g \left( \frac{8}{3} \left( b - 2 \right) \right) = - \frac{64}{27} \left( b - 2 \right) ^{3} = - 27$ $\displaystyle b - 2 = \frac{9}{4}$, $\displaystyle b = \frac{17}{4}$ 따라서 $\displaystyle a + b = 18 + \frac{17}{4} = \frac{89}{4}$