미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

미분가능 평행이동

문제

함수 f(x)=x3−2xf ( x ) = x ^{3} - 2 x에 대하여 함수 g(x)g ( x )는 다음과 같다. g(x)={f(x)(x<−1)f(x+p)+q(x≥−1)\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) & ( x < - 1 ) \\ f ( x + p ) + q & ( x \geq - 1 ) \end{cases}} 함수 g(x)g ( x )가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 0이 아닌 상수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-다항함수의 미분법 f′(x)=3x2−2f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2에서 f′(−1)=1f' ( - 1 ) = 1 f′(x)=1f' ( x ) = 1에서 x=−1x = - 1또는 x=1x = 1 따라서 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 그림과 같다.

함수 g(x)g ( x )가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 곡선 y=f(x)y = f ( x )위에 있는 점 (1,−1)( 1 , - 1 )이 점 (−1,1)( - 1 , 1 )의 위치에 오도록 xx축의 방향으로 -2만큼, yy축의 방향으로 2만큼 y=f(x)(x≥1)y = f ( x ) ( x \geq 1 )의 그래프가 평행이동하면 된다. 즉, x≥−1x \geq - 1일 때 g(x)=f(x+2)+2g ( x ) = f ( x + 2 ) + 2이다. 따라서 p=2,q=2p = 2 , q = 2이므로 p+q=4p + q = 4

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#미분가능성#평행이동

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