미분가능 조건 지수함수

[출제의도] 미분가능성을 이해하여 상수의 값을 구한다. 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 연속이다. 즉,$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {f \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {f \left( x \right)}$$= f \left( 0 \right)$ 그러므로 $f \left( 0 \right) = e ^{b} = 1$에서 $b = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x - 0}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{e ^{ax} - 1}{x}}$$= a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x}} = 1$ 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 미분가능하므로 $a = 1$ 따라서 $f \left( 10 \right) = e ^{10}$에서 $k = 10$