미분가능 조건

[출제의도] 미분계수를 활용하여 문제해결하기 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 미분가능하다. 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right) = f \left( 1 \right)}}$에서 $1 - a + 2 b = - 3 + b$ $b = a - 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{\left( x ^{3} - ax + 2 b \right) - \left( - 3 + b \right)}{x - 1}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{x ^{3} - ax + a - 1}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\left( x ^{2} + x + 1 - a \right)}$ $= 3 - a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{\left( - 3 x + b \right) - \left( - 3 + b \right)}{x - 1}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{- 3 x + 3}{x - 1}}$ $= - 3$ 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $3 - a = - 3$에서 $a = 6$이고 $b = 2$ 따라서 $a {\times} b = 12$