미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분가능 조건

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)={−x2+a(x<1)2x2+bx+4(x≥1)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - x ^{2} + a \left( x < 1 \right) \\ 2 x ^{2} + b x + 4 \left( x \geq 1 \right) \end{cases}} 이 x=1x = 1에서 미분가능할 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [4점] ①3333②3535③3737④3939⑤4141

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③

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해설

[출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기 함수 f(x)f ( x )가 x=1x = 1에서 미분가능하므로 x=1x = 1에서 연속이다. g(x)=−x2+a,h(x)=2x2+bx+4g ( x ) = - x ^{2} + a , h ( x ) = 2 x ^{2} + bx + 4라 하면 lim⁡x→1−g(x)=lim⁡x→1+h(x)=f(1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {h ( x )} = f ( 1 ) −1+a=6+b⋯㉠- 1 + a = 6 + b \cdots \text{㉠} 또한 f′(1)f' ( 1 )이 존재하므로 lim⁡x→1−g(x)−g(1)x−1=lim⁡x→1+h(x)−h(1)x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{h ( x ) - h ( 1 )}{x - 1}}} g′(1)=h′(1)g' ( 1 ) = h' ( 1 ) g′(x)=−2x,h′(x)=4x+bg' ( x ) = - 2 x , h' ( x ) = 4 x + b이므로 −2=4+b- 2 = 4 + b b=−6b = - 6이고 ㉠에 의하여 a=1a = 1이므로 a2+b2=37a ^{2} + b ^{2} = 37

태그

#미분가능성#연속

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