미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분가능 조건

문제

함수 f(x)={x3+ax+1(x≥1)2x2+a(x<1)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} x ^{3} + a x + 1 & ( x \geq 1 ) \\ 2 x ^{2} + a & ( x < 1 ) \end{cases}}가 모든 실수 xx에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 aa의 값은? [3점] ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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④

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해설

[출제의도] 함수의 미분가능성을 이해할 수 있는지 묻는 문제이다. 함수 f(x)f ( x )는 연속함수이다. f′(x)={3x2+a(x>1)4x(x<1)\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} 3 x ^{2} + a & ( x > 1 ) \\ 4 x & ( x < 1 ) \end{cases}} lim⁡x→1+0(3x2+a)=lim⁡x→1−04x\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} ( 3 x ^{2} + a ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {4 x}에서 3+a=43 + a = 4이다. ∴\therefore a=1a = 1

태그

#미분가능성#연속

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