미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

미분가능 조각함수 적분

문제

두 상수 aa, bb와 함수 f(x)=∣x∣x2+1\displaystyle f ( x ) = \frac{\left| x \right|}{x ^{2} + 1}에 대하여 함수 g(x)={f(x)(x<a)f(b−x)(x≥a)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} f ( x ) & ( x < a ) \\ f ( b - x ) & ( x \geq a ) \end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, ∫aa−bg(x)dx\displaystyle \int _{a} ^{a - b} g ( x ) dx의 값은? [4점] ①12ln⁡5\displaystyle \frac{1}{2} \ln 5②ln⁡5\ln 5③32ln⁡5\displaystyle \frac{3}{2} \ln 5④2ln⁡52 \ln 5⑤52ln⁡5\displaystyle \frac{5}{2} \ln 5

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①

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해설

그림과 같이 a=−1a = - 1, b=−2b = - 2일 때이다.

∫−11g(x)dx\displaystyle \int _{-1} ^{1} g ( x ) dx=∫13xx2+1dx\displaystyle = \int _{1} ^{3} \frac{x}{x ^{2} + 1} dx=[12ln⁡(x2+1)]13\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} \ln ( x ^{2} + 1 ) \right] _{1} ^{3}=12ln⁡5\displaystyle = \frac{1}{2} \ln 5

태그

#미분가능성#치환적분

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