미분가능 구간별 함수

함수 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 연속이고 미분가능하다. 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {g ( x ) = g ( 3 )}}$ $b - f ( 3 ) = f ( 3 )$ $b = 6 a - 34$ 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{g ( x ) - g ( 3 )}{x - 3} = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{g ( x ) - g ( 3 )}{x - 3}}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{g ( x ) - g ( 3 )}{x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{b - f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{- f ( x ) + \left\{ b - f ( 3 ) \right\}}{x - 3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{- \left\{ f ( x ) - f ( 3 ) \right\}}{x - 3}}$ $= \mathit{-} f' ( 3 )$ $= a - 9$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{g ( x ) - g ( 3 )}{x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3}}$ $= f' ( 3 )$$= - a + 9$ 따라서 $a = 9 , b = 20$ $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - x ^{3} + 6 x ^{2} - 9 x + 10 _{{} _{{} _{}}} & ( x < 3 ) _{{} _{{} _{}}} \\ x ^{3} - 6 x ^{2} + 9 x + 10 & ( x {\geq} 3 ) \end{cases}}$ $x < 3$에서 $g' ( x ) = \mathit{-} 3 x ^{2} + 12 x - 9 = \mathit{-} 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $g' ( x ) = 0$에서 $x = 1$ $x {\geq} 3$에서 $g' ( x ) = 3 x ^{2} - 12 x + 9 = 3 ( x - 1 ) ( x - 3 )$ $g' ( x ) = 0$에서 $x = 3$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$g ( 1 ) = \mathit{-} 1 + 6 - 9 + 10 = 6$이므로 함수 $g ( x )$는 $x = 1$에서 극솟값 $6$을 갖는다.