미분불가능점 개수 함수

함수 $y = f ( x )$의 그래프는 아래와 같다.

$\displaystyle y = \sqrt{\left| f ( x ) - t \right|} = {\begin{cases} \sqrt{f ( x ) - t} & ( f ( x ) \geq t ) \\ \sqrt{- f ( x ) + t} & ( f ( t ) < t ) \end{cases}}$를 $x$에 대해 미분하면 $\displaystyle y' = \begin{cases} \frac{f' ( x )}{2 \sqrt{f ( x ) - t}} & ( f ( x ) \geq t ) \\ \frac{- f' ( x )}{2 \sqrt{- f ( x ) + t}} & ( f ( x ) < t ) \end{cases}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{4} -} f ( x ) = f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$에서 연속이다. 하지만, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{4} -} f' ( x ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} , \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{4} +} f' ( x ) = \mathit{-} \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$에서 미분가능하지 않다. 또한 $y = f ( x )$과 $y = t$가 만나는 점에서 미분가능하지 않다. $t = \mathit{-} 1$일 때 즉, $\displaystyle y = \sqrt{1 + \cos t}$의 $x = \pi$에서의 미분가능성을 조사해보면 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \cos ( \pi + h )}}{h}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 - \cos h}}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{\sqrt{2 \sin ^{2} \frac{h}{2}}}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} \left| \sin \frac{h}{2} \right|}{h}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {} \frac{\sqrt{1 + \cos ( \pi + h )}}{h} = \mathit{-} {\frac{\sqrt{2}}{2} ,}$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{\sqrt{1 + \cos ( \pi + h )}}{h} = {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 이므로 $x = \pi$에서 미분가능하지 않다. $t$의 값의 범위에 따른 $g ( t )$의 값을 구해보면 $\displaystyle g ( t ) = {\begin{cases} 1 & ( t \leq - 2 ) \\ 2 & ( - 2 < t < {} - 1 ) \\ 3 & ( t = \mathit{-} 1 ) \\ 4 & ( - 1 < t < 0 ) \\ 2 & ( t = 0 ) \\ 3 & \left( 0 < t < \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ 1 & \left( t \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle a = g \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 , b = g ( 0 ) = 2 , c = g ( - 1 ) = 3$이다. 또한, 함수 $h ( g ( t ) )$가 실수 전체에서 연속이므로 $h ( 1 ) = h ( 2 ) = h ( 3 ) = h ( 4 )$이 성립하고 $h ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로 $h ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) + k$라 할 수 있다. $\therefore h ( a + 5 ) - h ( b + 3 ) + c$ $= h ( 6 ) - f ( 5 ) + 3$ $= ( 120 + k ) - ( 24 + k ) + 3$ $= 99$