미분불가능 점 개수 보기

$y = ( x ^{2} - x ) e ^{4-x}$$= x ( x - 1 ) e ^{4-x}$ $y' = ( 2 x - 1 ) e ^{4-x} - ( x ^{2} - x ) e ^{4-x}$$= ( - x ^{2} + 3 x - 1 ) e ^{4-x}$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} ( x ^{2} - x ) e ^{4-x} = 0$ 이다. 이것으로 부터 $y = ( x ^{2} - x ) e ^{4-x}$, $f ( x ) = | x ^{2} - x | e ^{4-x}$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이제 $y = kx$$( k > 0 )$와 $y = f ( x )$에서 $g ( x )$를 살펴보면 아래 그림과 같이 $y = kx$가 $y = f ( x )$의 접선인 경우를 기준으로 동그라미에서 미분가능하지 않은 경우가 생긴다.

ㄱ. $k = 2$ 이면 $f ( 2 ) = 2 e ^{2} > 4$이므로 $g ( 2 ) = 4$ ㄴ. $y = kx$가 $x = 2$에서 $y = f ( x )$의 접선보다 아래쪽이면 $h ( k )$는 최댓값 4 를 갖는다. ㄷ. 원점에서 접선을 구하여 보면 접점의 좌표를 $( t , f ( t ) )$라 두면 $y = ( - t ^{2} + 3 t - 1 ) e ^{4-t} ( x - t ) + ( t ^{2} - t ) e ^{4-t}$ $0 = ( t ^{3} - 3 t ^{2} + t ) e ^{4-t} + ( t ^{2} - t ) e ^{4-t}$ $t ^{3} - 2 t ^{2} = 0$, $t = 0$ 또는 $t = 2$ $t = 2$에서 접선의 기울기는 $k = e ^{2}$ $t = 0$에서는 $y = - f ( x )$의 접선의 기울기는 $k = e ^{4}$ 따라서 $e ^{2} \leq k < e ^{4}$, $k > e ^{4}$ 일 때 $h ( k ) = 2$이다.