메넬라우스 정리 빈칸

그림과 같이 $\triangle \mathrm{ABC}$에서 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 선분 $\mathrm{BC}$를 $5 : 2$로 외분하는 점을 $\mathrm{E}$라 하고, 두 점 $\mathrm{D}$와 $\mathrm{E}$를 지나는 직선 $l$과 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하자.

다음은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{FC}} = m : n$일 때, $mn$의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, $m$, $n$은 서로소인 자연수이다.)

그림과 같이 점 $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $l$과 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{G}$라 하자.

$\triangle \mathrm{ADF}$와 $\triangle \mathrm{AGC}$는 서로 닮은 도형이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AF}}}{\overline{\mathrm{FC}}} = \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\overline{\mathrm{DG}}} \cdots \cdots \text{㉠}$ $\triangle \mathrm{BCG}$와 $\triangle \mathrm{BED}$는 서로 닮은 도형이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BE}}}{\overline{\mathrm{EC}}} = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{DG}}} \cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$으로부터 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{{\overline{\mathrm{BD}}}} \cdot \frac{{\overline{\mathrm{BE}}}}{{\overline{\mathrm{EC}}}} \cdot \frac{{\overline{\mathrm{FC}}}}{{\overline{\mathrm{AF}}}} = {\square {( \text{가} )}}$$\cdots \cdots \text{㉢}$ 한편, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} : {\overline{\mathrm{BD}}} = 2 : 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{EC}} = 5 : 2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{FC}} = m : n$이므로 $\text{㉢}$으로부터 $\displaystyle \frac{m}{n} = {\square {( \text{나} )}}$ 따라서 $mn = {\square {( \text{다} )}}$

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a + bc$의 값은? [4점] ①$17$②$26$③$37$④$50$⑤$65$