마름모와 삼차함수 교점

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( - x \right)$$= \mathit{-} f \left( x \right)$이므로 곡선 $y$$= f \left( x \right)$와 $x$축이 만나는 점의 개수는 $1$ 또는 $3$이다. (ⅰ) 곡선 $y$$= f \left( x \right)$와 $x$축이 만나는 점의 개수가 $1$인 경우 모든 양수 $t$에 대하여 $g \left( t \right)$$= 2$이므로 함수 $g \left( t \right)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅱ) 곡선 $y$$= f \left( x \right)$와 $x$축이 만나는 점의 개수가 $3$인 경우 $f \left( x \right)$$= x \left( x - a \right) \left( x + a \right)$($a > 0$)이라 하자. 두 점 $\left( t , 0 \right)$, $\left( 0 , - 2 t \right)$를 지나는 직선의 기울기는 $t$의 값에 관계없이 $2$이므로 $f' \left( a \right)$의 값에 따라 함수 $g \left( t \right)$가 $t$$= k$에서 불연속이 되는 $k$의 개수가 달라진다. (a) $f' \left( a \right) \leq 2$일 때 모든 양수 $t$에 대하여 $g \left( t \right)$$= 2$이므로 함수 $g \left( t \right)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) $f' \left( a \right) > 2$일 때 곡선 $y$$= f \left( x \right)$의 기울기가 $2$인 두 접선의 $x$절편을 각각 $\beta$, $- \beta$ ($\beta > a$)라 하면 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} 2 & \left( 0 < t < a \text{또는} t > \beta \right) \\ \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} & \begin{matrix} \left( t = a \text{또는} t = \beta \right) \\ \left( a < t < \beta \right) \end{matrix} \end{cases}}$ 함수 $g \left( t \right)$는 $t$$= a$, $t$$= \beta$에서 불연속이므로 $a$$= \alpha$, $\beta$$= 8$

함수 $g \left( t \right)$가 $t$$= 8$에서 불연속이므로 두 직선 $y$$= 2 x + 16$과 $y$$= 2 x - 16$은 곡선 $y$$= f \left( x \right)$에 접한다. 직선 $y$$= 2 x - 16$이 곡선 $y$$= f \left( x \right)$에 접하는 점의 $x$좌표를 $p$ ($0 < p < \alpha$)라 하면 $p ^{3} - \alpha ^{2} p$$= 2 p - 16$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} - \alpha ^{2}$이므로 $f' \left( p \right)$$= 3 p ^{2} - \alpha ^{2}$$= 2$에서 $\alpha ^{2}$$= 3 p ^{2} - 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $p ^{3} - \left( 3 p ^{2} - 2 \right) p$$= 2 p - 16$, $- 2 p ^{3}$$= \mathit{-} 16$ 에서 $p$$= 2$, $\alpha ^{2}$$= 10$이므로 $f \left( x \right)$$= x ^{3} - 10 x$ 따라서 $\alpha ^{2} \times f \left( 4 \right)$$= 10 \times \left( 4 ^{3} - 10 \times 4 \right)$$= 240$