마름모가 되게 하는 점 찾기

실마리: 마름모의 네 꼭짓점 중 세 개를 고르면, 그중 하나는 나머지 두 점과 각각 변으로 이어지는 가운데 꼭짓점이고, 그 점에서 나머지 두 점까지의 거리는 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 10 - 0 ) ^{2} + ( 6 - 6 ) ^{2}} = 10$ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 는 직선 $y = 6$ 위에 있고 $\mathrm{C}$ 는 $x$축 위에 있으므로 세 점은 한 직선 위에 있지 않다. (ⅰ) 점 $\mathrm{A}$ 가 가운데 꼭짓점인 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AB}} = 10$ 이므로 $k ^{2} + 6 ^{2} = 100$, $k ^{2} = 64$ $k = - 8$ 또는 $k = 8$ (ⅱ) 점 $\mathrm{B}$ 가 가운데 꼭짓점인 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BA}} = 10$ 이므로 $( k - 10 ) ^{2} + 6 ^{2} = 100$, $( k - 10 ) ^{2} = 64$ $k = 2$ 또는 $k = 18$ (ⅲ) 점 $\mathrm{C}$ 가 가운데 꼭짓점인 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}}$ 이므로 $k ^{2} + 36 = ( k - 10 ) ^{2} + 36$ $20 k = 100$ 에서 $k = 5$ 각 경우 가운데 꼭짓점에서 나머지 두 점으로 가는 두 변의 길이가 같고 두 변이 평행하지 않으므로, 나머지 한 꼭짓점을 대각선의 중점이 일치하도록 잡으면 실제로 마름모가 된다. 예를 들어 $k = 5$ 일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = \overline{\mathrm{CB}} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$ 이고 $\mathrm{D} ( 5 , 12 )$ 로 잡으면 네 변의 길이가 모두 $\displaystyle \sqrt{61}$ 이다. 따라서 구하는 합은 $( - 8 ) + 8 + 2 + 18 + 5 = 25$