공통수학2명제수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

m⁴+4ⁿ 소수 조건 증명

문제

다음은 자연수 m,nm , n에 대해서 m4+4nm ^{4} + 4 ^{n}이 소수이고 m≠1m \neq 1 또는 n≠1n \neq 1이면, mm은 홀수이고 nn은 짝수임을 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
mm이 짝수이거나 nn이 홀수라 가정하자. (i) mm이 짝수이면 m=2jm = 2 j꼴의 정수이고, m4+4n=4⋅(4j4+4n−1)m ^{4} + 4 ^{n} = 4 \cdot \left( 4 j ^{4} + 4 ^{n - 1} \right)이므로 m4+4nm ^{4} + 4 ^{n}은 □(가)\square {\text{(가)}} 이것은 가정에 모순이므로 mm은 홀수이다. (ii) nn이 홀수이면 nn=2k−12 k - 1꼴의 정수이다. m4+4n=m4+42k−1m ^{4} + 4 ^{n} = m ^{4} + 4 ^{2 k - 1}은 다음과 같이 인수분해 된다. m4+42k−1=(□(나))(m2+m2k+2⋅4k−1)m ^{4} + 4 ^{2 k - 1} = \left( \square {\text{(나)}} \right) ( m ^{2} + m 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k - 1} ) 이 수는 소수이므로 □(나)=1\square {\text{(나)}} = 1 또는 (m2+m2k+2⋅4k−1)=1( m ^{2} + m 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k - 1} ) = 1이다. 그런데, (m2+m2k+2⋅4k−1)>1( m ^{2} + m 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k - 1} ) > 1이므로 □(나)=1\square {\text{(나)}} = 1이다. □(나)=(□(다))2+4k−1=1\square {\text{(나)}} = \left( \square {\text{(다)}} \right) ^{2} + 4 ^{k - 1} = 1로부터 k=1,m=1k = 1 , m = 1이다. 따라서, m=1,n=1m = 1 , n = 1이다. 이것은 가정에 모순이므로 nn은 짝수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①소수가 아니다. m2−m2k+2⋅4k−1m ^{2} - m 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k-1} m−2k−1m - 2 ^{k-1}②소수이다. m2−m2k+2⋅4k−1m ^{2} - m 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k-1} m−2k−1m - 2 ^{k-1}③소수가 아니다. m2−m2k+1+5⋅4k−1m ^{2} - m 2 ^{k+1} + 5 \cdot 4 ^{k-1} m−2km - 2 ^{k}④소수이다. m2−m2k+1+5⋅4k−1m ^{2} - m 2 ^{k+1} + 5 \cdot 4 ^{k-1} m−2km - 2 ^{k}⑤소수가 아니다. m2−m⋅2k+2+17⋅4k−1m ^{2} - m \cdot 2 ^{k + 2} + 17 \cdot 4 ^{k - 1} m−2k+1m - 2 ^{k+1}

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①

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해설

m4+4n=4⋅(4j4+4n−1){m} ^{4} + {4} ^{n} = 4 \cdot ( 4 {j} ^{4} + {4} ^{n - 1} )이므로 소수가 아니다. ⋯⋯⋯\cdots \cdots \cdots (가) 또 m4+42k−1=(m2)2+4(4k−1)2{m} ^{4} + {4} ^{2 k - 1} = {( {m} ^{2} )} ^{2} + 4 ( {4} ^{k - 1} ) ^{2} (m2)2+4(4k−1)2+4⋅m2⋅4k−1−4⋅m2⋅4k−1{( {m} ^{2} )} ^{2} + 4 {( {4} ^{k - 1} )} ^{2} + 4 \cdot {m} ^{2} \cdot {4} ^{k - 1} - 4 \cdot {m} ^{2} \cdot {4} ^{k - 1} =(m2+2⋅4k−1)2−(2⋅m⋅2k−1)2= {( {m} ^{2} + 2 \cdot {4} ^{k - 1} )} ^{2} - {( 2 \cdot m \cdot {2} ^{k - 1} )} ^{2} =(m2−m⋅2k+2⋅4k−1)(m2+m⋅2k+2⋅4k−1)= ( m ^{2} - m \cdot 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k - 1} ) ( m ^{2} + m \cdot 2 ^{k} + 2 \cdot 4 ^{k - 1} )⋯⋯⋯\cdots \cdots \cdots (나) 또 m2−m⋅2k+2⋅4k−1=(m−2k−1)2+4k−1=1{m} ^{2} - m \cdot {2} ^{k} + 2 \cdot {4} ^{k - 1} = {( m - {2} ^{k - 1} ) ^{2}} + {4} ^{k - 1} = 1이다.⋯⋯⋯\cdots \cdots \cdots (다)

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#귀류법#인수분해#증명 빈칸

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