대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

log5 무리수 증명

문제

다음은 log⁡5\log 5가 무리수임을 증명한 것이다.

< 증명 > log⁡5\log 5를 유리수라고 가정하면, log⁡5=nm\displaystyle \log 5 = \frac{n}{m}(mm, nn은 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다. ∴5□(가)=2n\therefore 5 ^{{\square {( \text{가} )}}} = 2 ^{n} 이때 5□(가)5 ^{{\square {( \text{가} )}}}은 홀수이고 2n2 ^{n}은 짝수가 되어 모순이다. 따라서 log⁡5\log 5는 무리수이다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 것은? [3점] ①m−nm - n②n−mn - m③m+nm + n④mm⑤2m2 m

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①

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해설

[출제의도] 지수와 로그의 관계를 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. log⁡5\log 5를 유리수라고 가정하자. 0<log⁡5<10 < \log 5 < 1이므로 서로소인 두 자연수 m,nm , n에 대해 log⁡5=nm\displaystyle \log 5 = \frac{n}{m}(m>nm > n)로 놓을 수 있다. log⁡5=nm\displaystyle \log 5 = \frac{n}{m} ↔\leftrightarrow 10nm=5\displaystyle 10 ^{\frac{n}{m}} = 5 양변을 mm제곱하면 5m=10n5 ^{m} = 10 ^{n} 양변을 5n5 ^{n}으로 나누면 5m−n=2n5 ^{m - n} = 2 ^{n} 이때 m−n>0m - n > 0 이므로 5m−n5 ^{m - n}은 홀수이고 2n2 ^{n}은 짝수가 되어 모순이다. 따라서 log⁡5\log 5는 무리수이다.

태그

#귀류법#로그#증명 빈칸

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