대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

log2 무리수 증명

문제

다음은 log⁡2\log 2가 무리수임을 증명한 것이다.

< 증명 > log⁡2\log 2가 유리수라고 가정하자. log⁡2=nm\displaystyle \log 2 = \frac{n}{m} (mm, nn은 서로소인 자연수) ⋯\cdots ㉠ 로 놓으면 0<log⁡2<10 < \log 2 < 1이므로 (가) 이다. ㉠에서 10nm=2\displaystyle 10 ^{\frac{n}{m}} = 2이므로 2□(나)=5n2 ^{{\square {( \text{나} )}}} = 5 ^{n} 이때, (가) 이므로 2□(나)2 ^{{\square {( \text{나} )}}}은 (다) 이고 5n5 ^{n}은 가 되어 모순이다. 따라서 log⁡2\log 2는 무리수이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①m>nm > n m−nm - n 짝수②m>nm > n n−mn - m 홀수③m>nm > n mm 짝수④m<nm < n n−mn - m 홀수⑤m<nm < n m−nm - n 짝수

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①

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해설

[출제의도] log⁡2\mathbf{\log 2}가 무리수임을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. log⁡2\log 2가 유리수라고 가정하자. log⁡2=nm\displaystyle \log 2 = \frac{n}{m} (m,nm , n은 서로소인 자연수) 으로 놓으면 0<log⁡2<10 < \log 2 < 1이므로 m>nm > n이다. ⇐ (가) log⁡2=nm\displaystyle \log 2 = \frac{n}{m} ↔\leftrightarrow 10nm=2\displaystyle 10 ^{\frac{n}{m}} = 2 양변을 mm제곱하면 2m=10n2 ^{m} = 10 ^{n} 양변을 2n2 ^{n}으로 나누면 2m−n=5n2 ^{m - n} = 5 ^{n} ⇐ (나) 이때 m−n>0m - n > 0 이므로 2m−n2 ^{m - n}은 짝수이고 ⇐ (다) 5n5 ^{n}은 홀수가 되어 모순이다. 따라서 log⁡2\log 2는 무리수이다.

태그

#귀류법#증명

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