(lnx)^6/x² 극값

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{1}{x ^{2}} = \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( \ln x \right) ^{6} = \infty$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( \ln x \right) ^{6}}{x ^{2}} = \infty$이다. $f' ( x )$$\displaystyle = \frac{6 \left( \ln x \right) ^{5} \cdot \frac{1}{x} \cdot x ^{2} - \left( \ln x \right) ^{6} \cdot 2 x}{( x ^{2} ) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{2 x \left( \ln x \right) ^{5} \left( 3 - \ln x \right)}{x ^{4}}$ 이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $x = 1$, $x = e ^{3}$이고 $f ( x )$의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

또한, $x > 0$인 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \frac{\left( \ln x \right) ^{6}}{x ^{2}}$$= 0$이므로 함수 $f ( x )$의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참) ㄴ. (거짓) ㄷ. $e < 3$이므로 $\displaystyle \left( \frac{3}{e} \right) ^{6} > 1$이다. 따라서 위의 그림과 같이 방정식 $f ( x ) = 1$을 만족하는 실근의 개수는 $3$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.