lnx^2/x 교점 개수 합

[출제의도] 함수의 그래프의 개형으로 문제해결하기 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\ln x ^{2}}{x}$에 대하여 ⅰ) $x > 0$일 때 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 \ln x}{x}$, $\displaystyle f' ( x ) = \frac{2 - 2 \ln x}{x ^{2}}$ $x = e$에서 $f' ( x ) = 0$이고

$\therefore$ 극댓값 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{e}$ ⅱ) $x \ne 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( - x \right) = - f \left( x \right)$가 성립하므로 $f \left( x \right)$는 원점에 대하여 대칭이다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle y = \frac{2}{en} x$는 원점을 지나는 직선이고 원점에서 곡선 $\displaystyle y = \frac{2 \ln x}{x}$에 그은 접선의 접점을 $( t , f ( t ) )$라 하면 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2 - 2 \ln t}{t ^{2}} ( x - t ) + \frac{2 \ln t}{t}$이고 $\left( 0 , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle 0 = \frac{2 - 2 \ln t}{t ^{2}} ( 0 - t ) + \frac{2 \ln t}{t}$ $\therefore$ $\displaystyle t = \sqrt{e}$ $\therefore$ 접점은 $\displaystyle \left( \sqrt{e} , \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{e} x$ $n = 1$일 때, 직선 $\displaystyle y = \frac{2}{e} x$와 함수 $f ( x )$의 그래프의 교점의 개수는 $0$ $\therefore$ $a _{1} = 0$ $n = 2$일 때, 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{e} x$와 함수 $f ( x )$의 그래프의 교점의 개수는 $2$ $\therefore$ $a _{2} = 2$ $3 \leq n \leq 10$일 때, 직선 $\displaystyle y = \frac{2}{en} x$와 함수 $f ( x )$의 그래프의 교점의 개수는 $4$ $\therefore$ $a _{n} = 4$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = 0 + 2 + 4 \times 8 = 34$