공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

켤레복소수 조건

문제

55 이하의 두 자연수 aa, bb에 대하여 복소수 zz를 z=a+biz = a + bi라 할 때, zz‾\displaystyle \frac{z}{{\overline{z}}}의 실수부분이 00이 되게 하는 모든 복소수 zz의 개수는? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle {\overline{z}}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점] ①11②22③33④44⑤55

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⑤

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해설

[출제의도] 복소수의 연산을 이용하여 문제 해결하기 zz‾=a+bia−bi\displaystyle \frac{z}{{\overline{z}}} = \frac{a + bi}{a - bi}=(a+bi)2(a−bi)(a+bi)\displaystyle = \frac{\left( a + bi \right) ^{2}}{\left( a - bi \right) \left( a + bi \right)}=a2−b2+2abia2+b2\displaystyle = \frac{a ^{2} - b ^{2} + 2 abi}{a ^{2} + b ^{2}} 이므로 zz‾\displaystyle \frac{z}{\overline{z}}의 실수부분이 00이 되기 위해서는 a2−b2=0a ^{2} - b ^{2} = 0 이어야 한다. a,a , bb가 자연수이므로 a=ba = b이다. a,a , bb가 55이하의 자연수이므로 z=1+iz = 1 + i, 2+2i2 + 2 i, 3+3i3 + 3 i, 4+4i4 + 4 i, 5+5i5 + 5 i이다. 따라서 조건을 만족하는 모든 복소수 zz의 개수는 55이다.

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