켤레복소수 거듭제곱

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한 복소수 문제 해결하기 $\displaystyle z + {\overline{z}} = \mathit{-} 1$, $\displaystyle z {\overline{z}} = 1$이므로 $z$, $\displaystyle {\overline{z}}$는 이차방정식 $x ^{2} + x + 1 = 0$의 두 근이다. 양변에 $x - 1$을 곱하면 $x ^{3} - 1 = 0$이므로 $x ^{3} = 1$이다. 그러므로 $z ^{3} = 1$, $\displaystyle \left( {\overline{z}} \right) ^{3} = 1$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z ^{5}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{2}}{z ^{4}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{3}}{z ^{3}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{4}}{z ^{2}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{5}}{z}$ $\displaystyle = \frac{{\overline{z}}}{z ^{2}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{2}}{z} + \frac{1}{1} + \frac{{\overline{z}}}{z ^{2}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{2}}{z}$ $\displaystyle = \frac{2 {\overline{z}}}{z ^{2}} + \frac{2 \left( {\overline{z}} \right) ^{2}}{z} + 1$ $\displaystyle = \frac{2 z {\overline{z}}}{z ^{3}} + \frac{2 z ^{2} \left( \overline{z} \right) ^{2}}{z ^{3}} + 1$ $= 2 + 2 + 1$ $= 5$이다. [다른 풀이] $\displaystyle z ^{3} = 1 , \left( {\overline{z}} \right) ^{3} , z {\overline{z}} = 1$에서 $\displaystyle {\overline{z}} = \frac{1}{z}$이다. $\displaystyle \frac{{\overline{z}}}{z ^{5}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{2}}{z ^{4}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{3}}{z ^{3}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{4}}{z ^{2}} + \frac{\left( {\overline{z}} \right) ^{5}}{z}$ $\displaystyle = \left( {\overline{z}} \right) ^{6} + \left( {\overline{z}} \right) ^{6} + \left( {\overline{z}} \right) ^{6} + \left( {\overline{z}} \right) ^{6} + \left( {\overline{z}} \right) ^{6}$ $\displaystyle = 5 \left( {\overline{z}} \right) ^{6} = 5$이다.