공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

켤레 허근 식의 값

문제

이차방정식 x2−6x+11=0x ^{2} - 6 x + 11 = 0의 서로 다른 두 허근을 α\alpha, β\beta라 할 때, 11(α‾α+β‾β)\displaystyle 11 \left( \frac{{\overline{\alpha}}}{\alpha} + \frac{{\overline{\beta}}}{\beta} \right)의 값을 구하시오. (단, α‾\displaystyle {\overline{\alpha}}, β‾\displaystyle {\overline{\beta}}는 각각 α\alpha, β\beta의 켤레복소수이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 이차방정식 x2−6x+11=0x ^{2} - 6 x + 11 = 0에서 x=3±2i\displaystyle x = 3 \pm \sqrt{2} i이므로 α=3+2i\displaystyle \alpha = 3 + \sqrt{2} i, β=3−2i\displaystyle \beta = 3 - \sqrt{2} i라 하면 β\beta는 α\alpha의 켤레복소수이다. 즉, β=α‾\displaystyle \beta = {\overline{\alpha}}이고 α=β‾\displaystyle \alpha = {\overline{\beta}}이다. 또한 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 α+β=6\alpha + \beta = 6, αβ=11\alpha \beta = 11이다. 따라서 11(α‾α+β‾β)\displaystyle 11 \left( \frac{{\overline{\alpha}}}{\alpha} + \frac{{\overline{\beta}}}{\beta} \right)=11(βα+αβ)\displaystyle = 11 \left( \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} \right)=11(α2+β2αβ)\displaystyle = 11 \left( \frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\alpha \beta} \right) =11{(α+β)2−2αβαβ}\displaystyle = 11 \left\{ \frac{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta}{\alpha \beta} \right\}=11×36−2211\displaystyle = 11 \times \frac{36 - 22}{11} =14= 14

태그

#켤레복소수#근과 계수의 관계

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