켤레 허근 조건

[출제의도] 이차방정식이 허근을 가질 조건을 이용하여 식의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 허수 $z$는 $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} + mx + n = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 의 한 근이다. 이때 $m$, $n$이 정수이고 $z$가 허수이므로 방정식 ㉠은 $\displaystyle x = {\overline{z}}$도 근으로 갖는다. 조건 (나)에서 $\displaystyle z + {\overline{z}} = 8$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle z + \overline{z}$$= \mathit{-} m$$= 8$ $m$$= \mathit{-} 8$ $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} - 8 x + n = 0$이 허근을 갖기 위해서는 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 할 때 $D < 0$이어야 한다. $D$$= \left( \mathit{-} 8 \right) ^{2} - 4 n$$= 64 - 4 n$$< 0$ $n > 16$이므로 정수 $n$의 최솟값은 $17$이다. 따라서 $m + n$의 최솟값은 $\mathit{-} 8 + 17$$= 9$ [다른 풀이] $z$는 허수이므로 $z = a + bi$ ($a$, $b$는 실수, $b \neq 0$)으로 놓을 수 있다. 조건 (나)에서 $\displaystyle z + \overline{z}$$= \left( a + bi \right) + \left( a - bi \right)$$= 2 a$$= 8$ 이므로 $a = 4$이다. 조건 (가)에서 $\left( 4 + bi \right) ^{2} + m \left( 4 + bi \right) + n$$= \left( 16 + 8 bi + b ^{2} i ^{2} \right) + \left( 4 m + mbi \right) + n$ $= \left( 16 + 8 bi - b ^{2} \right) + \left( 4 m + mbi \right) + n$ $= \left( 16 - b ^{2} + 4 m + n \right) + b \left( 8 + m \right) i$ $= 0$ 이므로 $16 - b ^{2} + 4 m + n = 0$ …… ㉠ $b \left( 8 + m \right) = 0$ …… ㉡ ㉡에서 $b \neq 0$이므로 $m = \mathit{-} 8$ ㉠에서 $n = 16 + b ^{2}$이고 $b \neq 0$이므로 $n > 16$ 그러므로 정수 $n$의 최솟값은 $17$이다. 따라서 $m + n$의 최솟값은 $\mathit{-} 8 + 17$$= 9$