코사인 조건을 만족시키는 정수쌍의 개수

$\displaystyle \cos \frac{( a - b ) \pi}{2} = 0$에서 $\displaystyle \frac{( a - b ) \pi}{2} = n \pi + \frac{\pi}{2}$ $\therefore$$a - b = 2 n + 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠에서 정수 $l$, $m$에 대하여 $a = 2 l$일 때, $b = 2 m + 1$ $a = 2 l + 1$일 때, $b = 2 m$ 꼴이어야 한다. 따라서 $a ^{2} + b ^{2} \leq 13$을 만족하는 정수 $a$, $b$는 다음과 같다. (ⅰ) $a = 0$일 때, $b ^{2} \leq 13$에서 $b = \pm 1$, $\pm 3$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $4$쌍이다. (ⅱ) $a = \pm 1$일 때, $b ^{2} \leq 12$에서 $b = 0$, $\pm 2$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $2 \times 3 = 6$쌍이다. (ⅲ) $a = \pm 2$일 때, $b ^{2} \leq 9$에서 $b = \pm 1$, $\pm 3$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $2 \times 4 = 8$쌍이다. (ⅳ) $a = \pm 3$일 때, $b ^{2} \leq 4$에서 $b = 0$, $\pm 2$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $2 \times 3 = 6$쌍이다. 이상에서 조건을 만족하는 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $4 + 6 + 8 + 6 = 24$쌍이다.