기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

끈으로 그린 타원 꽃밭

문제

오른쪽 그림과 같이 편평한 땅에 거리가 10m10 m떨어진 두 개의 말뚝이 있다. 두 개의 말뚝에 길이가 1414mm인 끈을 묶고 이 끈을 팽팽하게 유지하면서 곡선을 그렸다. 두 말뚝을 지나면서 이 곡선에 접하는 직사각형 모양의 꽃밭을 만들었을 때, 이 꽃밭의 넓이는? [3점]

①4007m2\displaystyle \frac{400}{7} m ^{2}②4207m2\displaystyle \frac{420}{7} m ^{2}③4407m2\displaystyle \frac{440}{7} m ^{2}④4607m2\displaystyle \frac{460}{7} m ^{2}⑤4807m2\displaystyle \frac{480}{7} m ^{2}

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⑤

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해설

구하는 타원을 x2a2+y2b2=1(a>b>0,c2=a2−b2)\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 ( a > b > 0 , c ^{2} = a ^{2} - b ^{2} )라 두면 2a=142 a = 14에서 a=7a = 7 c2=a2−b2c ^{2} = a ^{2} - b ^{2}에서 25=49−b225 = 49 - b ^{2}이므로 b2=24b ^{2} = 24 그러므로 타원의 식은 x249+y224=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{49} + \frac{y ^{2}}{24} = 1이다. x=5x = 5을 대입하면 y=±247\displaystyle y = \pm \frac{24}{7}이므로 구하는 꽃밭의 넓이는 ∴10×487=4807m2\displaystyle \therefore 10 \times \frac{48}{7} = \frac{480}{7} \mathrm{m} ^{2}

태그

#타원#정의#실생활

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