큰 수의 나머지

[출제의도] 항등식을 활용한 나머지 추론하기 다항식 $\left( 4 x + 2 \right) ^{10}$을 $x$로 나누었을 때의 몫을 $Q \left( x \right)$, 나머지를 $R$이라 하면 $\left( 4 x + 2 \right) ^{10} = xQ \left( x \right) + R$이고 $x = 0$을 대입하면 $R = {\square {1024}}$이다. $\left( 4 x + 2 \right) ^{10} = xQ \left( x \right) + {\square {1024}}$에 $x = 505$를 대입하면 $2022 ^{10} = 505 \times Q \left( 505 \right) + {\square {1024}}$이다. 나머지는 $505$보다 작은 수이므로 $2022 ^{10} = 505 \times Q \left( 505 \right) + {\square {1024}}$ $= 505 \times Q \left( 505 \right) + 505 \times 2 + 14$ $= 505 \times \left\{ Q \left( 505 \right) + {\square {2}} \right\} + {\square {14}}$이다. $2022 ^{10}$을 $505$로 나누었을 때의 나머지는 ${\square {14}}$이다. 따라서 $a + b + c = 1024 + 2 + 14 = 1040$이다.