공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

큰 근의 값으로 계수 거꾸로 구하기

문제

$x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + a ^{2} - 2 a - 8 = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖고, 그중 큰 근이 $4$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점] ① $- 4$ ② $- 2$ ③ $0$ ④ $2$ ⑤ $4$

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②

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해설

근의 공식에 의하여 $\displaystyle x = - a \pm \sqrt{a ^{2} - ( a ^{2} - 2 a - 8 )} = - a \pm \sqrt{2 a + 8}$ 서로 다른 두 실근을 가지므로 $2 a + 8 > 0$ , 즉 $a > - 4$ 큰 근은 $\displaystyle - a + \sqrt{2 a + 8}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{2 a + 8} = a + 4$ 양변을 제곱하면 $2 a + 8 = a ^{2} + 8 a + 16$ $a ^{2} + 6 a + 8 = 0$ , $( a + 2 ) ( a + 4 ) = 0$ $a > - 4$ 이므로 $a = - 2$ 이때 방정식은 $x ^{2} - 4 x = 0$ 이고 두 근은 $0$ , $4$ 이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 $a = - 2$ 답 ②

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