기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

케플러 타원 궤도

문제

케플러의 법칙에 의하여 다음 사실이 알려져 있다.

행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도를 따라 공전한다. 태양으로부터 행성까지의 거리를 rr, 행성의 속력을 vv라 하면 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서 거리와 속력의 곱 rvrv의 값은 서로 같다.

두 초점 사이의 거리가 2c2 c인 타원궤도를 따라 공전하는 행성이 있다. 단축과 공전궤도가 만나는 한 지점과 태양 사이의 거리가 aa이다. 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서의 속력의 비가 3:53 : 5일 때, ca\displaystyle \frac{c}{a}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②13\displaystyle \frac{1}{3}③14\displaystyle \frac{1}{4}④15\displaystyle \frac{1}{5}⑤16\displaystyle \frac{1}{6}

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③

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해설

단축과 공전궤도가 만나는 한 지점과 태양 사이의 거리가 aa이므로 공전궤도(타원)의 장축의 길이는 2a2 a이다. 또한, 두 초점 사이의 거리가 2c2 c이므로 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점과 태양 사이의 거리는 각각 a−ca - c와 a+ca + c이다. 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서의 속력의 비가 3:53 : 5이므로 속력을 각각 3v3 v, 5v5 v라 하면, 거리와 속력의 곱의 값이 같아야 하므로 3v(a+c)=5v(a−c)3 v ( a + c ) = 5 v ( a - c ) 3a+3c=5a−5c3 a + 3 c = 5 a - 5 c 8c=2a8 c = 2 a ∴ ca=28=14\displaystyle \frac{c}{a} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

태그

#타원#실생활

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