공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

케이크 높이·겉넓이·부피

문제

두 가지 모양의 케이크를 만들려고 한다. 그림과 같이 <케이크 A>는 모서리의 길이가 각각 a,b,ca , b , c 인 정육면체 세 개를 쌓아서 만들고, <케이크 B>는 세 모서리의 길이가 a,b,ca , b , c 인 직육면체 세 개를 쌓아서 만든다. <보기>에서 옳은 설명만을 있는 대로 고른 것은? (단, a>b>ca > b > c) [4점]

aa bb ccaa bb bb bb cc
<케이크 A> <케이크 B>
<보 기>
ㄱ. <케이크 A>가 <케이크 B>보다 높다. ㄴ. <케이크 A>에서 밑면을 제외한 겉넓이는 5a2+4b2+4c25 a ^{2} + 4 b ^{2} + 4 c ^{2}이다. ㄷ. <케이크 A>와 <케이크 B>의 부피를 같게 만들 수 있다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 식을 활용하여 수학 외적 문제 해결하기 ㄱ. (반례) a=4,b=3,c=1a = 4 , b = 3 , c = 1 (거짓) ㄴ. (5a2−b2)+(5b2−c2)+5c2=5a2+4b2+4c2( 5 a ^{2} - b ^{2} ) + ( 5 b ^{2} - c ^{2} ) + 5 c ^{2} = 5 a ^{2} + 4 b ^{2} + 4 c ^{2} (참) ㄷ. (케이크 A의 부피)-(케이크 B의 부피) =a3+b3+c3−3abc= a ^{3} + b ^{3} + c ^{3} - 3 abc =(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)= ( a + b + c ) ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca ) =12(a+b+c){(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}>0\displaystyle = \frac{1}{2} ( a + b + c ) \left\{ ( a - b ) ^{2} + ( b - c ) ^{2} + ( c - a ) ^{2} \right\} > 0 (거짓)

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