공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

k에 관한 항등식

문제

xx에 대한 이차방정식 x2+k(2p−3)x−(p2−2)k+q+2=0x ^{2} + k \left( 2 p - 3 \right) x - \left( p ^{2} - 2 \right) k + q + 2 = 0이 실수 kk의 값에 관계없이 항상 11을 근으로 가질 때, 두 상수 pp, qq에 대하여 p+qp + q의 값은? [3점] ①−5- 5②−2- 2③11④44⑤77

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②

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해설

[출제의도] 미정계수를 포함한 항등식 이해하기 주어진 방정식이 실수 kk의 값에 관계없이 항상 11을 근으로 가지므로 x=1x = 1을 대입하면 1+k(2p−3)−(p2−2)k+q+2=01 + k \left( 2 p - 3 \right) - \left( p ^{2} - 2 \right) k + q + 2 = 0이다. −(p2−2p+1)k+q+3=0- \left( p ^{2} - 2 p + 1 \right) k + q + 3 = 0이 실수 kk에 대한 항등식이므로 p2−2p+1=0p ^{2} - 2 p + 1 = 0, q+3=0q + 3 = 0에서 p=1p = 1, q=−3q = \mathit{-} 3이다. 따라서 p+q=−2p + q = \mathit{-} 2이다.

태그

#항등식#이차방정식의 근

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