공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

k에 관계없이 중근

문제

$x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} - 2 \left( k - a \right) x + k ^{2} - 4 k + b = 0$ 이 실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 두 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a + b$ 의 값은? [4점] ① $\mathrm{2}$ ② $\mathrm{3}$ ③ $\mathrm{4}$ ④ $\mathrm{5}$ ⑤ $\mathrm{6}$

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⑤

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해설

이차방정식 $x ^{2} - 2 \left( k - a \right) x + k ^{2} - 4 k + b = 0$ 의 판별식을 $D$ 라 할 때 $\displaystyle \frac{D}{4}$ $= \left( k - a \right) ^{2} - \left( k ^{2} - 4 k + b \right)$ $= k ^{2} - 2 ak + a ^{2} - k ^{2} + 4 k - b$ $= \left( - 2 a + 4 \right) k + \left( a ^{2} - b \right) = 0$ $\cdots$ $\cdots$ ㉠㉠이 실수 $k$ 의 값에 관계없이 성립하므로 $- 2 a + 4 = 0$ , $a ^{2} - b = 0$ $a = 2$ , $b = 4$ 따라서 $a + b = 6$

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