공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

k에 관계없이 접하는 직선

문제

xx에 대한 이차함수 y=x2−4kx+4k2+ky = x ^{2} - 4 kx + 4 k ^{2} + k의 그래프와 직선 y=2ax+by = 2 ax + b가 실수 kk의 값에 관계없이 항상 접할 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [4점] ①18\displaystyle \frac{1}{8}②316\displaystyle \frac{3}{16}③14\displaystyle \frac{1}{4}④516\displaystyle \frac{5}{16}⑤38\displaystyle \frac{3}{8}

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②

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해설

xx에 대한 이차함수 y=x2−4kx+4k2+ky = x ^{2} - 4 kx + 4 k ^{2} + k의 그래프와 직선 y=2ax+by = 2 ax + b가 접하려면 이차방정식 x2−2(2k+a)x+4k2+k−b=0x ^{2} - 2 ( 2 k + a ) x + 4 k ^{2} + k - b = 0의 판별식을 DD라 할 때, D4=(2k+a)2−4k2−k+b\displaystyle \frac{D}{4} = ( 2 k + a ) ^{2} - 4 k ^{2} - k + b =(4a−1)k+a2+b=0= ( 4 a - 1 ) k + a ^{2} + b = 0 ⋯㉠\cdots \text{㉠} ㉠\text{㉠}이 kk의 값에 관계없이 성립하므로 a=14\displaystyle a = \frac{1}{4}, b=−116\displaystyle b = - \frac{1}{16} 따라서 a+b=316\displaystyle a + b = \frac{3}{16}

태그

#판별식#항등식

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