중심이 직선 위에 있는 외접원의 조건

원의 중심은 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 $x = 3$ 위에 있고, 직선 $y = x$ 위에도 있으므로 중심은 $( 3 , 3 )$이다. 반지름의 길이는 중심에서 $\mathrm{A} ( 1 , 1 )$까지의 거리이므로 $\displaystyle \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$ 원의 방정식은 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 8$ 점 $\mathrm{C} ( k , 5 )$가 이 원 위에 있으므로 $( k - 3 ) ^{2} + 4 = 8$, 즉 $( k - 3 ) ^{2} = 4$ $k = 5$ 또는 $k = 1$이고 $k > 3$이므로 $k = 5$ (검산) 세 점 $( 1 , 1 )$, $( 5 , 1 )$, $( 5 , 5 )$는 모두 중심 $( 3 , 3 )$에서 거리가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이다. 따라서 $k = 5$