중선정리와 삼각형의 넓이

점 $\mathrm{M}$ 은 변 $\mathrm{BC}$ 의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} = 5$ 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{BM}} ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \times 36 + 2 \times 25 = 122$ 이 식과 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} - \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 40$ 을 연립하면 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 162$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 81$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 9$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} > \overline{\mathrm{AC}}$ 이므로 점 $\mathrm{A}$ 에서 직선 $\mathrm{BC}$ 에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$ 는 선분 $\mathrm{MC}$ 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{MH}} = t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = h$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = t + 5$ 이므로 직각삼각형 $\mathrm{AMH}$ 와 $\mathrm{ABH}$ 에서 $t ^{2} + h ^{2} = 36$ $( t + 5 ) ^{2} + h ^{2} = 81$ 두 식을 빼면 $10 t + 25 = 45$ 에서 $t = 2$ $h ^{2} = 36 - 4 = 32$ 이므로 $\displaystyle h = 4 \sqrt{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2}$ 답 ④