공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

중선정리 피타고라스 증명

문제

다음은∠A=90∘\mathrm{\angle} A = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 AB‾2+CA‾2=BC‾2\displaystyle \mathrm{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = {\overline{BC}} ^{2}}을 증명한 것이다.

< 증 명 >
오른쪽 그림과 같이 변BC\mathrm{BC}의 중점을M\mathrm{M}이라 하면 AB‾2+CA‾2\displaystyle \mathrm{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2}} ==㈎ ㈏ 이 때,BM‾=12BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \frac{1}{2} \overline{BC}이고, ㈏ ㈐ AB‾2+CA‾2=\displaystyle \mathrm{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2}} =㈎ ㈑

위의 증명에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점]

(가) (나) (다) (라) ①33 2AM‾\displaystyle \mathrm{2 \overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 13\displaystyle \frac{1}{3}②44 2AM‾\displaystyle \mathrm{2 \overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 14\displaystyle \frac{1}{4}③22 AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 12\displaystyle \frac{1}{2}④22 AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 14\displaystyle \frac{1}{4} 12\displaystyle \frac{1}{2}⑤165\displaystyle \frac{16}{5} AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 14\displaystyle \frac{1}{4} 516\displaystyle \frac{5}{16}

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③

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해설

중선 정리에 의해 AB‾2+CA‾2=2(BM‾2+AM‾2)⋯\displaystyle {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = 2 \left( {\overline{BM}} ^{2} + {\overline{AM}} ^{2} \right) \cdots(1) 이 때, BM‾=AM‾=12BC‾⋯\displaystyle \overline{BM} = \overline{AM} = \frac{1}{2} \overline{BC} \cdots(2) 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리하면 AB‾2+CA‾2=2(14BC‾2+14BC‾2)\displaystyle {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = 2 \left( \frac{1}{4} {\overline{BC}} ^{2} + \frac{1}{4} {\overline{BC}} ^{2} \right) =2(12BC‾2)\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{2} {\overline{BC}} ^{2} \right)

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#중선정리#증명#빈칸 추론

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