공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

중선정리 피타고라스 증명

문제

다음은 ∠A=90∘\mathrm{\angle} A = 90 ^\circ인 직각삼각형ABC\mathrm{ABC}에서 AB‾2+CA‾2=BC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + \overline{CA} ^{2} = \overline{BC} ^{2}을 증명한 것이다. [증명] 오른쪽 그림과 같이 변BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하면 AB‾2+CA‾2\displaystyle \mathrm{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2}}==(BM‾2+\displaystyle \mathrm{(} \overline{BM} ^{2} +( )2{}^{2})\mathrm{)} 이 때, BM‾=12BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \frac{1}{2} \overline{BC}이고, == BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}이므로 AB‾2+CA‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + \overline{CA} ^{2} = ( BC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2})

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점] ㈎ ㈏ ㈐ ㈑ ①33 2AM‾\displaystyle \mathrm{2 \overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 13\displaystyle \frac{1}{3}②44 2AM‾\displaystyle \mathrm{2 \overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 14\displaystyle \frac{1}{4}③22 AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 12\displaystyle \frac{1}{2} 12\displaystyle \frac{1}{2}④22 AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 14\displaystyle \frac{1}{4} 12\displaystyle \frac{1}{2}⑤165\displaystyle \frac{16}{5} AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} 14\displaystyle \frac{1}{4} 516\displaystyle \frac{5}{16}

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③

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해설

중선의 정리에 의해서 AB‾2+CA‾2=2(BM‾2+AM‾2)⋯⋯①\displaystyle {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = 2 ( {\overline{BM}} ^{2} + {\overline{AM}} ^{2} ) \cdots \cdots \text{①}이고, 이 때, BM‾=12BC‾\displaystyle \overline{BM} = \frac{1}{2} \overline{BC}이고, $\overline{AM} = \frac{1}{2} \overline{BC} \cdots \cdots \text{ ②}$이므로 (∴M은직각삼각형△ABC의외접원의중심)\left( \therefore M \text{은} \text{직각삼각형} \triangle ABC \text{의} \text{외접원의} \text{중심} \right) ②식을 ①식에 대입하면 AB‾2+CA‾2=2(12BC‾2)=BC‾2\displaystyle {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = 2 \left( \frac{1}{2} {\overline{BC}} ^{2} \right) = {\overline{BC}} ^{2}이다.

태그

#중선정리#증명#빈칸 추론

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