중선 삼각형 넓이비

$\mathrm{\triangle} ABC$의 넓이를 $S _{1}$, $\mathrm{\triangle} ABC$의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형의 넓이를 $S _{2}$라고 할 때, 다음은 $S _{1}$과 $S _{2}$사이에 일정한 비가 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

$\mathrm{\triangle} ABC$의 각 변의 중점을 $\mathrm{P} , Q , R$로 놓고 그림과 같이 $\mathrm{\vec{PC}} = \vec{BT}$가 되도록 점 $\mathrm{T}$를 잡는다. 점 $\mathrm{Q}$는 평행사변형 $\mathrm{PBTC}$의 대각선 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 $\mathrm{\vec{PQ}} = \vec{QT}$ $\cdots$ ㉠ 또 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\vec{PQ}} = \frac{1}{2} \vec{AC}$이므로 $\mathrm{\vec{PQ}} = \vec{AR}$ $\cdots$ ㉡ ㉠，㉡ 에서 $\mathrm{\vec{AR}} = \vec{QT}$ ∴ (가)

따라서 $\mathrm{\triangle} RBT$는 $\mathrm{\triangle} ABC$의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형이다. 한편, 두 선분 $\mathrm{BC}$와 $\mathrm{RT}$의 교점을 $\mathrm{M}$이라고 하면, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$ // $\displaystyle \mathrm{\overline{RT}}$이고 점 $\mathrm{R}$가 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{CQ}$의 중점이다. $\mathrm{\angle} {R MB} = \angle AQB$이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} RBT = \frac{1}{2} \mathrm{\overline{RT}} \times \overline{MB} \times \sin \left( \mathrm{\angle} {R MB} \right)$ $=$ (나) $\mathrm{\triangle} ABC$

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

(가) (나) ①$\mathrm{\vec{AQ}} = \vec{RT}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$②$\mathrm{\vec{AP}} = \vec{CT}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$③$\mathrm{\vec{AQ}} = \vec{RT}$ $\displaystyle \frac{3}{4}$④$\mathrm{\vec{AP}} = \vec{CT}$ $\displaystyle \frac{3}{4}$⑤$\mathrm{\vec{CT}} = \vec{PB}$ $\displaystyle \frac{4}{5}$