공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중점이 원 밖에 있음 증명

문제

반지름의 길이가 rr 인 원 내부의 한 점을 P\mathrm{P}, 선분 OP\mathrm{OP}(O\mathrm{O}는 원의 중심)의 P\mathrm{P}방향으로의 연장선 위에 OP‾⋅OQ‾=r2\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \cdot \overline{OQ} \mathit{=} r ^{2}이 성립하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 PQ\mathrm{PQ}의 중점을 R\mathrm{R}이라 할 때, R\mathrm{R}의 위치가 원의 외부에 있음을 증명한 것이다.

<증명1> 점 R\mathrm{R}이 원의 내부에 있다고 가정할 때, 점 R\mathrm{R}을 지나고 선분 PQ\mathrm{PQ}에 수직인 현을 ST\mathrm{ST}라고 하자. OP‾=OR‾−RP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \overline{OR} - \overline{RP}, OQ‾=\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} =(가) 따라서 r2=OP‾⋅OQ‾=(OR‾−RP‾)\displaystyle r ^{2} = \mathrm{\overline{OP}} \cdot \overline{OQ} = ( \overline{OR} - \overline{RP} )(가) =OR‾2−RP‾2\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OR}} ^{2} - {\overline{RP}} ^{2} == (나) =r2−PS‾2\displaystyle = r ^{2} - \mathrm{\overline{PS}} ^{2} 그러므로 선분 PS\mathrm{PS} 의 길이는 00이다. 이것은 점 P\mathrm{P}와 S\mathrm{S}는 같은 점이라는 뜻이고, 점 P\mathrm{P}가 원 내부의 점이라는 사실에 모순이다. 따라서 점 R\mathrm{R}은 원 밖의 점이다. <증명2> OR‾=OP‾+OQ‾2>\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = \frac{\overline{OP} + \overline{OQ}}{2} > (다) 따라서 OR‾>r\displaystyle {\mathrm{\overline{OR}}} > r 이므로 점 R\mathrm{R}은 원 밖의 점이다.

점 R\mathrm{R}이 원의 내부에 있다고 가정할 때, 점 R\mathrm{R}을 지나고 선분 PQ\mathrm{PQ}에 수직인 현을 ST\mathrm{ST}라고 하자. OP‾=OR‾−RP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \overline{OR} - \overline{RP}, OQ‾=\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} =(가)

따라서 r2=OP‾⋅OQ‾=(OR‾−RP‾)\displaystyle r ^{2} = \mathrm{\overline{OP}} \cdot \overline{OQ} = ( \overline{OR} - \overline{RP} )(가)

=OR‾2−RP‾2\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OR}} ^{2} - {\overline{RP}} ^{2} == (나) −(PS‾2−RS‾2)\displaystyle \mathrm{-} ( {\overline{PS}} ^{2} - {\overline{RS}} ^{2} ) =r2−PS‾2\displaystyle = r ^{2} - \mathrm{\overline{PS}} ^{2} 그러므로 선분 PS\mathrm{PS} 의 길이는 00이다. 이것은 점 P\mathrm{P}와 S\mathrm{S}는 같은 점이라는 뜻이고, 점 P\mathrm{P}가 원 내부의 점이라는 사실에 모순이다. 따라서 점 R\mathrm{R}은 원 밖의 점이다.

<증명2> OR‾=OP‾+OQ‾2>\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = \frac{\overline{OP} + \overline{OQ}}{2} > (다)

따라서 OR‾>r\displaystyle {\mathrm{\overline{OR}}} > r 이므로 점 R\mathrm{R}은 원 밖의 점이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 ? [4점]

(가)(나)(다)
①OR‾+RP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} + {\overline{RP}}r2+RS‾2\displaystyle r ^{2} + \mathrm{\overline{RS}} ^{2}OP‾⋅PQ‾\displaystyle \mathrm{\sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{PQ}}}
②OR‾+RP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} + {\overline{RP}}r2−RS‾2\displaystyle r ^{2} - \mathrm{\overline{RS}} ^{2}OP‾⋅OQ‾\displaystyle \mathrm{\sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{OQ}}}
③OR‾+RQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} + \overline{RQ}r2+RS‾2\displaystyle r ^{2} + \mathrm{\overline{RS}} ^{2}OP‾⋅OR‾\displaystyle \mathrm{\sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{OR}}}
④OR‾+RQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} + \overline{RQ}r2+RS‾2\displaystyle r ^{2} + \mathrm{\overline{RS}} ^{2}OP‾⋅OQ‾\displaystyle \mathrm{\sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{OQ}}}
⑤OR‾+RQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} + \overline{RQ}r2−RS‾2\displaystyle r ^{2} - \mathrm{\overline{RS}} ^{2}OP‾⋅OR‾\displaystyle \mathrm{\sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{OR}}}
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②

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해설

[출제의도] 귀류법을 이용하여 완성형 증명하기 OQ‾=OR‾+RQ‾=OR‾+RP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \overline{OR} + \overline{RQ} = \overline{OR} + \overline{RP} r2=(OR‾−RP‾)(OR‾+RP‾)=OR‾2−RP‾2\displaystyle r ^{2} = \mathrm{(} \overline{OR} - \overline{RP} ) ( \overline{OR} + \overline{RP} ) = {\overline{OR}} ^{2} - {\overline{RP}} ^{2} =(r2−RS‾2)−(PS‾2−RS‾2)\displaystyle = ( r ^{2} - \mathrm{\overline{RS}} ^{2} ) - ( \overline{PS} ^{2} - \overline{RS} ^{2} ) (피타고라스 정리에 의해) OR‾=OP‾+OQ‾2>OP‾⋅OQ‾\displaystyle {\overline{OR}} = \frac{\mathrm{{\overline{OP}} + \overline{OQ}}}{2} > \sqrt{\overline{OP} \cdot \overline{OQ}} (산술・기하평균에 의해)

태그

#원#귀류법#산술기하평균#빈칸

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