중점 자취 타원

$\displaystyle ( 1 , \sqrt{3} ) + \left( \frac{1}{2} ( \sin \theta + \cos \theta ) , \frac{\sqrt{3}}{2} ( \sin \theta - \cos \theta ) \right)$ $\displaystyle X = \frac{1}{2} ( \sin \theta + \cos \theta )$, $\displaystyle Y = \frac{\sqrt{3}}{2} ( \sin \theta - \cos \theta )$라 하면 $\displaystyle 3 X ^{2} + Y ^{2} = \frac{3}{4} ( 2 \sin ^{2} \theta + 2 \cos ^{2} \theta ) = \frac{3}{2}$ 즉, $\displaystyle \frac{X ^{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{Y ^{2}}{\frac{3}{2}} = 1$ ⋯⋯ ㉠ 따라서 $( X , Y )$는 타원위에 존재한다. ㄱ. 중점 $\mathrm{M}$은 ㉠을 $x$축 방향으로 $1$만큼 $y$축 방향으로 $\displaystyle \sqrt{3}$만큼 평행이동시킨 것이므로 중점 $\mathrm{M}$이 그리는 도형은 타원이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 점 $\mathrm{C} ( 1 , 0 )$은 장축의 연장선 위에 존재하므로 점 $\mathrm{C}$와 $\mathrm{D}$는 타원의 장축의 양 끝점이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle = \sqrt{3} + \sqrt{\frac{3}{2}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} + \overline{CE}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ ㄷ. $\mathrm{\angle} DOC = \theta _{1}$, $\mathrm{\angle} EOC = \theta _{2}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = 1$이므로 $\tan \theta _{1} =$$\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle = \sqrt{3} + \sqrt{\frac{3}{2}}$ $\tan \theta _{2}$$=$$\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}}$ $\alpha = \theta _{1} - \theta _{2}$이므로 $\tan \alpha$$= \tan ( \theta _{1} + \theta _{2} )$$\displaystyle = \frac{\tan \theta _{1} - \tan \theta _{2}}{1 + \tan \theta _{1} \tan \theta _{2}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{\frac{3}{2}}}{1 + \left( 3 - \frac{3}{2} \right)}$$\displaystyle = \frac{2}{5} \sqrt{6}$