대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중근 조건 등차수열

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킬 때, a10a _{10}의 값을 구하시오. [4점] (가) a1=2a _{1} = 2 (나) 모든 자연수 nn에 대하여 이차방정식 x2−2anx+an+1−3=0\displaystyle x ^{2} - 2 \sqrt{a _{n}} x + a _{n + 1} - 3 = 0이 중근을 갖는다.

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29

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해설

이차방정식 x2−2anx+an+1−3=0\displaystyle x ^{2} - 2 \sqrt{a _{n}} x + a _{n + 1} - 3 = 0의 판별식을 DD라 하면 D=4an−4(an+1−3)=0D = 4 a _{n} - 4 \left( a _{n + 1} - 3 \right) = 0 ∴\therefore an+1−an=3a _{n + 1} - a _{n} = 3 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22이고 공차가 33인 등차수열이므로 a10=2+9×3=29a _{10} = 2 + 9 \times 3 = 29

태그

#판별식#등차수열

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