중근 조건

[출제의도] 판별식을 이용하여 이차방정식이 중근을 가질 조건을 구한다. 방정식 $x ^{2} - kx + k - 1 = 0$이 중근을 가지므로 판별식을 $D$라 하면 $D = k ^{2} - 4 ( k - 1 )$ $= k ^{2} - 4 k + 4$ $= ( k - 2 ) ^{2}$ $= 0$ ∴ $k = 2$ $k = 2$를 $x ^{2} - kx + k - 1 = 0$에 대입하면 $x ^{2} - 2 x + 1 = 0$ $( x - 1 ) ^{2} = 0$ $x = 1$ ∴ $\alpha = 1$ 따라서 $k + \alpha = 3$ [다른 풀이] 문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다. 그러므로 $x ^{2} - kx + k - 1 = 0$을 $k$에 대하여 정리하면 $- k ( x - 1 ) + x ^{2} - 1 = 0$ $- k ( x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 0$ $\left. ( x - 1 ) \left\{ - k + ( x + 1 ) \right\} = 0 \right.$ $( x - 1 ) \left( x + 1 - k \right) = 0$ 이 방정식은 중근을 갖고 근이 $x = 1 , k - 1$이므로 $1 = k - 1$ ∴ $k = 2$ 그러므로 $k = 2$, $\alpha = 1$ 따라서 $k + \alpha = 2 + 1 = 3$ [다른 풀이] 주어진 방정식의 중근이 $\alpha$이므로 $x ^{2} - kx + k - 1 = ( x - \alpha ) ^{2}$으로 인수분해 된다. 그러므로 $x ^{2} - kx + k - 1 = x ^{2} - 2 \alpha x + \alpha ^{2}$ 이 식은 항등식이므로 $k = 2 \alpha \cdots$ ㉠ $k - 1 = \alpha ^{2} \cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $2 \alpha - 1 = \alpha ^{2}$ $\alpha ^{2} - 2 \alpha + 1 = 0$ $( \alpha - 1 ) ^{2} = 0$ ∴ $\alpha = 1$ ㉠에 $\alpha = 1$을 대입하면 $k = 2$ 따라서 $k + \alpha = 2 + 1 = 3$