주기적으로 증가하는 함수 적분

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-다항함수의 적분법 ㄱ. (참) 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 1$에서도 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} ax ^{2} = a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \left\{ f ( x - 1 ) + k \right\}$ ($\because$조건 (나)) $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ f ( x ) + k \right\} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} ( ax ^{2} + k ) = k$ $f ( 1 ) = f ( 0 ) + k = 0 + k = k$ 따라서 $a = k$이므로 $a = 1$이면 $k = 1$이다. ㄴ. (참) 함수 $f ( x )$의 부정적분 중에 하나를 $F ( x )$라 하면 $F' ( x ) = f ( x )$이고, $\displaystyle g ( x ) = \int _{x} ^{x + 1} {} f ( t ) dt = F ( x + 1 ) - F ( x )$ $\displaystyle F' ( x + 1 ) = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{F ( x + 1 + h ) - F ( x + 1 )}{h} = f ( x + 1 )$ 이므로 $g ( x ) = F ( x + 1 ) - F ( x )$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' ( x ) = f ( x + 1 ) - f ( x )$ 이때 조건 (나)에서 $f ( x + 1 ) - f ( x ) = k$이므로 $g' ( x ) = k$이다. 따라서 함수 $g ( x )$는 일차함수이다. ㄷ. (참) ㄴ에서 $g' ( x ) = k$이므로 $g ( x ) = kx + C$ ($C$는 적분상수) $\displaystyle g ( 0 ) = \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} {} ax ^{2} dx = \left[ \frac{ax ^{3}}{3} \right] _{0} ^{1} = \frac{a}{3}$ 이므로 $\displaystyle C = \frac{a}{3}$ 따라서 $\displaystyle g ( x ) = kx + \frac{a}{3}$ 이고, ㄱ에서 $k = a$이므로 $\displaystyle g ( x ) = k \left( x + \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle \int _{0} ^{6} {} g ( x ) dx = k \int _{0} ^{6} {} \left( x + \frac{1}{3} \right) dx = k \left[ \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{3} \right] _{0} ^{6}$ $\displaystyle = k \left( \frac{36}{2} + \frac{6}{3} - 0 \right) = 20 k = 60$ 에서 $k = 3$이므로 $f ( x ) = 3 x ^{2}$ 따라서 조건 (나)에서 $f ( 10 ) = f ( 9 ) + 3 = f ( 8 ) + 3 + 3 = \cdots$ $= f ( 1 ) + 9 \times 3 = 3 + 27 = 30$ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.