미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주기적 증가 함수 넓이

문제

양수 $a$ 와 함수 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0 \leq x < 1$ 일 때, $f ( x ) = 2 x ^{2} + ax$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f ( x + 1 ) = f ( x ) + a ^{2}$ 이다.

함수 $f ( x )$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 곡선 $y = f ( x )$ 와 $x$ 축 및 직선 $x = 3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]

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해설

연속이므로 $\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1} f ( x )$ 즉 $2 + a = a ^{2}$ 에서 $a = 2$ $y = f ( x )$ 의 그래프는 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle S = 3 \int _{0} ^{1} ( 2 x ^{2} + 2 x ) dx + 12$ $\displaystyle = 3 \left[ \frac{2}{3} x ^{3} + x ^{2} \right] _{0} ^{1} + 12$ $= 5 + 12$ $= 17$

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