주기함수 실근 빈칸 추론

방정식 $f \left( x \right) = x$의 모든 실근이 $0$, $3$이므로 방정식 $f \left( f \left( x \right) \right) = f \left( x \right)$의 실근을 구하는 것은 $f \left( x \right) \times \left( f \left( x \right) - 3 \right) = 0$의 실근을 구하는 것과 같다. $0 \leq x < 4$일 때, 방정식 $f \left( x \right) \times \left( f \left( x \right) - 3 \right) = 0$에서 $- x ^{2} + 4 x = 0$이면 $x = 0$ ($\because$ $0 \leq x < 4$) $- x ^{2} + 4 x = 3$이면 $x ^{2} - 4 x + 3 = 0$, $\left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) = 0$ $\therefore$ $x = 1$ 또는 $x = 3$ 따라서 $0 \leq x < 4$에서 방정식 $f \left( x \right) \times \left( f \left( x \right) - 3 \right) = 0$의 모든 실근은 $0$, ${\square {1}}$, $3$이므로 $a _{1} = 0$, $a _{2} = {\square {1}}$, $a _{3} = 3$ 이다. 또한 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x + 4 \right) = f \left( x \right)$이므로 $a _{1} = 0$, $a _{2} = 1$, $a _{3} = 3$ $a _{4} = 0 + 4 = 4$, $a _{5} = 1 + 4 = 5$, $a _{6} = 3 + 4 = 7$ $a _{7} = 2 \times 4 = 8$, $a _{8} = 1 + 2 \times 4 = 9$, $a _{9} = 3 + 2 \times 4 = 11$ $\vdots$ 이므로 세 수열 $\left\{ a _{3 n - 2} \right\}$, $\left\{ a _{3 n - 1} \right\}$, $\left\{ a _{3 n} \right\}$은 첫째항이 각각 $0$, ${\square {1}}$, $3$이고 공차가 모두 ${\square {4}}$인 등차수열이다. $\therefore$ $a _{3 n - 2} = 0 + \left( n - 1 \right) \times 4$, $a _{3 n - 1} = 1 + \left( n - 1 \right) \times 4$, $a _{3 n} = 3 + \left( n - 1 \right) \times 4$ 이다. $a _{20} = 1 + \left( 7 - 1 \right) \times 4 = 25$, $a _{21} = 3 + \left( 7 - 1 \right) \times 4 = 27$, $a _{22} = 0 + \left( 8 - 1 \right) \times 4 = 28$이므로 $a _{20} + a _{21} + a _{22} = {\square {80}}$이다. 이상에서 (가) $1$, (나) $4$, (다) $80$이므로 $p = 1$, $q = 4$, $r = 80$ $\therefore$ $p + q + r = 1 + 4 + 80 = 85$