주기 확장 함수 적분

조건 (가)에 의하여 $f ( 0 ) = 0$ 조건 (나)에 의하여 $f ( 2 ) = f ( 0 ) + 2 = 2$ 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2-0} f ( x ) = f ( 2 )$에서 $4 a = 2$ ∴ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$

함수 $f ( x )$가 연속함수이므로 임의의 실수 $n$에 대하여 $\displaystyle \int _{n+2} ^{n+4} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{n} ^{n+2} f ( x + 2 ) dx$ $\displaystyle = \int _{n} ^{n+2} \left\{ f ( x ) + 2 \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{n} ^{n+2} f ( x ) dx + 4$ 가 성립한다. 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{7} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} f ( x ) dx + \int _{3} ^{5} f ( x ) dx + \int _{5} ^{7} f ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{3} f ( x ) dx + \left( \int _{1} ^{3} f ( x ) dx + 4 \right) + \left( \int _{1} ^{3} f ( x ) dx + 8 \right)$ $\displaystyle = 3 \int _{1} ^{3} f ( x ) dx + 12$

위 그림에서 $\displaystyle \int _{1} ^{3} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} \frac{1}{2} x ^{2} dx + 2$$\displaystyle = \left[ \frac{x ^{3}}{6} \right] _{0} ^{2} + 2$$\displaystyle = \frac{10}{3}$ ∴ $\displaystyle \int _{1} ^{7} f ( x ) dx$$\displaystyle = 3 \times \frac{10}{3} + 12$$= 22$