공통수학2유리함수와 무리함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기 4인 반복 합성과 나머지

문제

함수 f(x)=x+11−x\displaystyle f ( x ) = \frac{x + 1}{1 - x}에 대하여 f1=ff ^{1} = f, fn+1=f∘fnf ^{n + 1} = f \circ f ^{n} (nn은 자연수)으로 정의할 때, f2026(2)f ^{2026} ( 2 )의 값은? [3점] ①−3- 3②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③13\displaystyle \frac{1}{3}④22⑤33

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②

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해설

f2(x)=f(f(x))=x+11−x+11−x+11−x=21−x−2x1−x=−1x\displaystyle f ^{2} ( x ) = f ( f ( x ) ) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}{1 - \frac{x + 1}{1 - x}} = \frac{\frac{2}{1 - x}}{\frac{- 2 x}{1 - x}} = - \frac{1}{x} f4(x)=f2(f2(x))=−1−1x=x\displaystyle f ^{4} ( x ) = f ^{2} ( f ^{2} ( x ) ) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}} = x 즉 f4(x)=xf ^{4} ( x ) = x이므로 fn+4(x)=fn(x)f ^{n + 4} ( x ) = f ^{n} ( x )이다. 2026=4×506+22026 = 4 \times 506 + 2이므로 f2026(2)=f2(2)f ^{2026} ( 2 ) = f ^{2} ( 2 ) 따라서 f2026(2)=−12\displaystyle f ^{2026} ( 2 ) = - \frac{1}{2} ②

태그

#유리함수#반복 합성#주기

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