공통수학2유리함수와 무리함수AI기본 문제 (3점 중반)

주기 3인 반복 합성의 함숫값

문제

함수 f(x)=x−1x\displaystyle f ( x ) = \frac{x - 1}{x}에 대하여 f1=ff ^{1} = f, fn+1=f∘fnf ^{n + 1} = f \circ f ^{n} (nn은 자연수)으로 정의할 때, f100(5)f ^{100} ( 5 )의 값을 구하시오. [3점]

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해설

f2(x)=f(f(x))=x−1x−1x−1x=−1xx−1x=−1x−1\displaystyle f ^{2} ( x ) = f ( f ( x ) ) = \frac{\frac{x - 1}{x} - 1}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = - \frac{1}{x - 1} f3(x)=f(f2(x))=−1x−1−1−1x−1=−xx−1−1x−1=x\displaystyle f ^{3} ( x ) = f ( f ^{2} ( x ) ) = \frac{- \frac{1}{x - 1} - 1}{- \frac{1}{x - 1}} = \frac{- \frac{x}{x - 1}}{- \frac{1}{x - 1}} = x 즉 f3(x)=xf ^{3} ( x ) = x이므로 fn+3(x)=fn(x)f ^{n + 3} ( x ) = f ^{n} ( x )이다. 100=3×33+1100 = 3 \times 33 + 1이므로 f100(5)=f1(5)=f(5)f ^{100} ( 5 ) = f ^{1} ( 5 ) = f ( 5 ) 따라서 f100(5)=5−15=45\displaystyle f ^{100} ( 5 ) = \frac{5 - 1}{5} = \frac{4}{5}

태그

#유리함수#반복 합성#주기

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