대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조화수열 역수 합

문제

a1=2a _{1} = 2, a2=1a _{2} = 1, an+1an−2an+2an+an+1an+2=0a _{n+1} a _{n} - 2 a _{n+2} a _{n} + a _{n+1} a _{n+2} = 0 (n=n =11, 22, 33,…) 으로 정의된 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑k=1201ak\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{20} \frac{1}{a _{k}}의 값을 구하시오. [4점]

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105

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해설

[출제의도] 여러가지 수열에 관한 문제를 해결하기 주어진 점화식의 양변을 anan+1an+2a _{n} a _{n + 1} a _{n + 2}로 나누면 1an+2−2an+1+1an=0\displaystyle \frac{1}{a _{n + 2}} - \frac{2}{a _{n + 1}} + \frac{1}{a _{n}} = 0이므로 {1an}\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}은 공차가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등차수열이다. ∑k=1201ak=20×(2×12+19×12)2=105\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{a _{k}} = \frac{20 \times \left( 2 \times \frac{1}{2} + 19 \times \frac{1}{2} \right)}{2} = 105

태그

#점화식#등차수열

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