대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조합으로 주어진 부분합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}이 Sn=n+2C3S _{n} = _{n + 2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 일 때, ∑n=110(an+1−an)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n + 1} - a _{n} \right)의 값을 구하시오. [3점]

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65

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해설

Sn=n+2C3=(n+2)(n+1)n6\displaystyle S _{n} = {} _{n + 2} {\mathrm{C}} _{3} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 ) n}{6}이다. n=1n = 1일 때, a1=S1=1a _{1} = S _{1} = 1이고 n≥2n \geq 2일 때, an=Sn−Sn−1a _{n} = S _{n} - S _{n - 1} =(n+2)(n+1)n6−(n+1)n(n−1)6\displaystyle = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 ) n}{6} - \frac{( n + 1 ) n ( n - 1 )}{6} =n(n+1)2\displaystyle = \frac{n ( n + 1 )}{2} 이므로 n≥1n \geq 1일 때, an=n(n+1)2\displaystyle a _{n} = \frac{n \left( n + 1 \right)}{2}이다. ∴∑k=110(ak+1−ak)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( a _{k + 1} - a _{k} \right) =(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a11−a10)= \left( a _{2} - a _{1} \right) + \left( a _{3} - a _{2} \right) + \cdots + \left( a _{11} - a _{10} \right) =a11−a1= a _{11} - a _{1} =66−1=65= 66 - 1 = 65 [다른 풀이] ∑k=110(ak+1−ak)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( a _{k + 1} - a _{k} \right)=∑k=110ak+1−∑k=110ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} =∑k=111ak−∑k=110ak−a1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{11} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} - a _{1} =S11−S10−S1= S _{11} - S _{10} - S _{1} =13C3−12C3−3C3= _{13} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} - _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} - _{3} \mathrm{C} _{3} =12C2−3C3=65= _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} - _{3} \mathrm{C} _{3} = 65 [참고] n≥1n \geq 1이고 1≤k≤n1 \leq k \leq n일 때, n+1Ck=nCk+nCk−1{} _{n + 1} {\mathrm{C}} _{k} = {} _{n} {\mathrm{C}} _{k} + {} _{n} {\mathrm{C}} _{k - 1}

태그

#수열의 합#조합

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