대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조합 합 귀납법

문제

다음은 rr가 자연수일 때 n≥rn \geq r인 모든 자연수 nn에 대하여 등식 ∑i=rniCr=n+1Cr+1\displaystyle \sum\limits _{i = r} ^{n} {}_{i} \mathrm{C} \mathit{_{r}} = _{n + 1} \mathrm{C} \mathit{_{r + 1}}이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다. [증명] (1) n=rn = r일 때 (좌변)=rCr== _{r} {\mathrm{C}} _{r} = (가)

, (우변)=r+1Cr+1== _{r+1} {\mathrm{C}} _{r+1} = (가)

이므로 주어진 등식이 성립한다. (2) n=kn = k (k≥rk \geq r)일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 ∑i=rkiCr=k+1Cr+1\displaystyle \sum\limits _{i = r} ^{k} {}_{i} {\mathrm{C}} _{r} = _{k+1} {\mathrm{C}} _{r+1}이다. n=k+1n = k + 1일 때 성립함을 보이자. ∑i=rk+1iCr\displaystyle \sum\limits _{i = r} ^{k + 1} {}_{i} {\mathrm{C}} _{r}==k+1Cr+1+{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r+1} + (나)

== (다)

+(k+1)!(k+1−r)!r!\displaystyle + \frac{( k + 1 ) !}{( k + 1 - r ) ! r !}=(k+2)!(k+1−r)!(r+1)!\displaystyle = \frac{( k + 2 ) !}{( k + 1 - r ) ! ( r + 1 ) !} =k+2Cr+1= _{k+2} {\mathrm{C}} _{r+1} 따라서 n=k+1n = k + 1일 때 주어진 등식이 성립한다. (1), (2)에 의하여 n≥rn \geq r인 모든 자연수 nn에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)(나)(다)
① 11k+1Cr{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r}(k+1)!(k−r)!(r+1)!\displaystyle \frac{( k + 1 ) !}{( k - r ) ! ( r + 1 ) !}
② 11k+1Cr{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r}(k+1)!(k+1−r)!r!\displaystyle \frac{( k + 1 ) !}{( k + 1 - r ) ! r !}
③ 11k+1Cr+1{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r+1}(k+1)!(k−r)!(r+1)!\displaystyle \frac{( k + 1 ) !}{( k - r ) ! ( r + 1 ) !}
④ rrk+1Cr+1{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r+1}(k+1)!(k+1−r)!r!\displaystyle \frac{( k + 1 ) !}{( k + 1 - r ) ! r !}
⑤rrk+1Cr{}_{k+1} {\mathrm{C}} _{r}(k+1)!(k+1−r)!r!\displaystyle \frac{( k + 1 ) !}{( k + 1 - r ) ! r !}
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①

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해설

(가) rCr=r+1Cr+1=1{}_{r} C _{r} = _{r+1} C _{r+1} = 1 (나) ∑i=rk+1iCr=∑i=rkiCr+k+1Cr=k+1Cr+1+k+1Cr\displaystyle \sum\limits _{i = r} ^{k + 1} {}_{i} \mathrm{C} \mathit{_{r}} = \sum\limits _{i = r} ^{k} {}_{i} C _{r} + _{k + 1} C _{r} = _{k+1} C _{r+1} + _{k + 1} C _{r} ∴\therefore (나)=k+1Cr= _{k+1} C _{r} (다) nCr=n!(n−r)!r!\displaystyle {}_{n} C _{r} = \frac{n !}{( n - r ) ! r !}이므로 k+1Cr+1+k+1Cr=(k+1)!((k+1)−(r+1))!(r+1)!+(k+1)!(k+1−r)!r!\displaystyle {}_{k + 1} C _{r + 1} + _{k + 1} C _{r} = \frac{( k + 1 ) !}{( ( k + 1 ) - ( r + 1 ) ) ! ( r + 1 ) !} + \frac{( k + 1 ) !}{( k + 1 - r ) ! r !} ∴\therefore (다)=(k+1)!(k−r)!(r+1)!\displaystyle = \frac{( k + 1 ) !}{( k - r ) ! ( r + 1 ) !} ∴\therefore (가)=1= 1, (나)=k+1Cr= _{k+1} C _{r}, (다)=(k+1)!(k−r)!(r+1)!\displaystyle = \frac{( k + 1 ) !}{( k - r ) ! ( r + 1 ) !}

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#수학적 귀납법#조합#빈칸 추론

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